Ako nájsť objem valca s rôznym polomerom?

Pri riešení valcov v priemyselnom svete je jednou z bežných požiadaviek výpočet ich objemu. Zatiaľ čo vzorec na nájdenie objemu bežného valca s konštantným polomerom je dobre - známy, veci sa stávajú trochu zložitejším, keď sa polomer líši. Ako dodávateľ valca sa často stretávam so zákazníkmi, ktorí musia pochopiť, ako vypočítať objem takýchto valcov pre rôzne aplikácie, či už je to preMorský hydraulický valecv morskom priemysle alebo10000 ton hydraulický valec pre tlačv ťažkej výrobe.

Pochopenie základov objemu valca

Začnime základným konceptom objemu valca. Pre štandardný valec s konštantným polomerom (R) a výškou (H) je objem (v) daný vzorcom (v = \ pi r^{2} h). Tento vzorec je odvodený od skutočnosti, že základňa valca je kruh a oblasť kruhu je (a = \ pi r^{2}). Objem valca je potom produktom základnej oblasti a výšky.

Keď sa však polomer líši v závislosti od výšky valca, tento vzorec nemôžeme jednoducho použiť. Potrebujeme používať pokročilejšie matematické techniky, konkrétne integráciu.

Rôzne valce polomeru: matematický prístup

Valec s rôznym polomerom sa dá považovať za sériu nekonečne tenkých kruhových diskov naskladaných na seba. Každý disk má iný polomer v závislosti od jeho polohy pozdĺž výšky valca.

Predpokladajme, že polomer (r) valca je funkciou výšky (y), označovanú ako (r (y)). Aby sme našli objem valca, zvažujeme malý disk hrúbky (DY) vo výške (y) zo spodnej časti valca. Objem tohto malého disku (DV) je približne rovný objemu valca s polomerom (r (y)) a výškou (dy), So (dv = \ pi [r (y)]^{2} dy).

Ak chcete nájsť celkový objem (v) valca z (y = 0) do (y = h), integrujeme (DV) do výšky valca:

[V = \ h_70} \ pi [Treat)

Príklad: Lineárne rôzny polomer

Zoberme si jednoduchý príklad, keď sa polomer valca lineárne líši od (r_1) na základni ((y = 0)) na (r_2) na vrchu ((y = h)). Rovnica polomeru ako funkciu výšky (y) je možné písať pomocou dvojbodovej formy riadku.

Sklon čiary je (m = \ frac {r_2 - r_1} {h}) a rovnica riadku je (r (y) = r_1+\ frac {r_2 - r_1} {h} y)

Teraz nahradíme (r (y)) do vzorca objemu:

[V = \ int_ {0}^{h} \ pi \ vľavo (r_1+\ frac {r_2 - r_1} {h} y \ right)^{2} dy]

Najprv rozbaľte štvorec:

) r_1} {h} \ right)^{2} y^{2})

Potom integrujte termín podľa termínu:

(\ int_ {0}^{h} \ pi r_1^{2} dy = \ pi r_1^{2} h)

5 r_1} {h} \ times \ frac {y^{2}} {2} \ big | _ {0}^{h} = \ pi r_1 (r_2 - r_1) h)

5 r_1} {h} \ right)^{2} \ Times \ frac {y^{3}} {3} \ big | _ {0}^{h} = \ frac {\ pi}} (r_2 - r_1)^{2} h)

Celkový objem (v = \ pi h \ vľavo (r_1^{2}+r_1 (r_2 - r_1)+\ frac {1} {3} (r_2 - r_1)^{2} \ \ right))

[V = \ frac {\ pi h} {3} (r_1^{2} + r_1r_2 + r_2^{2})]

Aplikácie v priemysle

V priemysle sa v mnohých aplikáciách používajú valce s rôznymi polomermi. NapríkladDutý hydraulický valecMôže mať neformálny prierez - na optimalizáciu distribúcie stresu a tlaku. V leteckom priemysle môžu byť niektoré komponenty navrhnuté ako valce s rôznymi polomermi na zníženie hmotnosti pri zachovaní štrukturálnej integrity.

Dôležitosť pre dodávateľov valca

Ako dodávateľ valca je rozhodujúce porozumenie, ako vypočítať objem valcov s rôznymi polomermi. Umožňuje nám presne navrhovať a vyrábať valce podľa konkrétnych požiadaviek našich zákazníkov. Napríklad, ak zákazník potrebujeMorský hydraulický valecS konkrétnym objemom a rôznym polomerom pre jedinečnú námornú aplikáciu môžeme tieto matematické princípy použiť na zabezpečenie toho, aby valec vyhovoval ich potrebám.

Tieto výpočty môžeme tiež použiť na optimalizáciu použitia materiálov. Presným výpočtom objemu môžeme určiť množstvo materiálu potrebného na výrobu, ktorý pomáha pri nákladoch - kontrole a znižovaní odpadu.

Praktické úvahy

V skutočnej výrobe sveta existujú určité praktické úvahy pri riešení valcov s rôznymi polomermi. Výrobné procesy je potrebné starostlivo kontrolovať, aby sa zabezpečilo, že skutočná variácia polomeru zodpovedá navrhnutej funkcii (r (y)).

Dôležité sú aj techniky merania. Musíme byť schopní presne zmerať polomer v rôznych bodoch pozdĺž výšky valca, aby sme overili kvalitu produktu. Na získanie podrobných informácií o tvaru valca sa môžu použiť pokročilé nástroje na meranie, ako sú laserové skenery.

Záver

Výpočet objemu valca s rôznym polomerom je neochvejná úloha, ktorá vyžaduje použitie integrácie. Pochopením matematických princípov a ich uplatňovaním v praktických situáciách môžeme navrhovať a vyrábať vysokokvalitné valce pre širokú škálu priemyselných odvetví.

Ak potrebujete valce, či už majú konštantný alebo rôzny polomer, sme tu, aby sme vám poskytli najlepšie riešenia. Náš tím expertov môže s vami spolupracovať na porozumení vašich konkrétnych požiadaviek a navrhovania valcov, ktoré vyhovujú vašim potrebám. Kontaktujte nás a začnite diskusiu o obstarávaní a zistite, ako vám môžeme pomôcť pri vašich projektoch.

Odkazy

• Stewart, James. "Kalkus: skoré transcendentály." Cengage Learning, 2015.
• Thomas, George B. a Finney, Ross L. "Calculus a Analytic Geometry." Addison - Wesley, 1996.